Persamaan Differensial dan Integrasi Numerik

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variabel atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde.
Ada 2 jenis Persamaan differensial, yaitu :

  1. Persamaan diferensial biasa (PDB)adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks.
  2. Persamaan diferensial parsial (PDP)adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial. Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan diferensial biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik, dan parabolik, terutama untuk persamaan diferensial linear orde dua, sangatlah penting.
Metode analitik disebut juga metode sejati karena memberikan solusi sejati (exact solution) atau solusi yang sesungguhnya yaitu solusi yang memiliki galat (error) sama dengan nol ! Sayangnya, metode analitik hanya unggul untuk sejumlah persoalan yang terbatas, yaitu persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana serta bermatra rendah. Padahal persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali nirlanjar serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan sebenarnya masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik.
Metode numerik merupakan metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan PD dengan menggunakan bantuan komputer sebagai alat hitung, ketika metode analitik sulit digunakan. Pada beberapa bentuk differensial, khususnya pada differensial non-linier, penyelesaian analitik sulit sekali dilakukan sehingga metode numerik dapat menjadi metode penyelesaian yang disarankan.
Perbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik terletak pada dua hal, yaitu:
  1. Solusi dengan metode numerik selalu berbentuk angka, sedangkan dengan metode analitik biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya fungsi matematik tersebut dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka.
  2. Dengan metode numerik hanya diperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approximation) atau solusi pendekatan. Akan tetapi, solusi hampiran tersebut dapat dibuat seteliti yang diinginkan. Solusi hampiran tentu tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya, dan selisih tersebut dinamakan sebagai galat (error). Sedangkan dengan solusi analitik sudah pasti dihasilkan solusi sejati yang sesuai dengan kenyataannya.
Integral adalah satu dari pokok bahasan yang mendasar disamping turunan (derivative). Dalam kuliah kalkulus integral, telah diajarkan solusi analitik (dan eksak) dari integral tak tentu maupun integral tentu.
F(x) adalah suatu fungsi dari x, sedangkan C sebagai konstanta. Integral juga menangani batas-batas integral yang telah diberikan, seperti yang dinyatakan sebagai:
Menurut buku kalkulus persamaaan diatas dituliskan sebagai berikut:
Integral tentu sama dengan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x = a dan garis x = b. Persoalam integrasi adalah penghitungan secara numerik integral tertentu
Yang artinya a dan b merupakan batas integrasi, f adalah fungsi yang dapat diberikakn secara eksplisit dalam bentuk table nilai. Ada tiga pendekatan dalam menurunkan rumus integrasi numerik. Pendekatan pertama berdasarkan tafsiran geometri integral tentu. Daerah integrasi dibagi beberapa pias yang berbentuj segiempat. Integrasi numerik yang dilakukan menggunakan pendekatan ini disebut dengan metode pias. Pendekatan kedua dengan menggunakan pendekatan polinom interpolasi. Fungsi integral F(x) didekatkan dengan polinom nterpolasi Pn(x), kemudian integrasi dilakukan terhadap PN(X) karena polinom lebih mdah diintegralkan daripada mengintegralkan F(x). Rumus pendekatan ini dinamakan metode newton cotes. Pendekatan ketiga sama sekali tidak menggunakan titik-titik diskrit sebagaimana pada kedua pendekatan di atas. Nilai integral diperoleh dengan mengevaluasi nilai fungsi pada sejumlah titik tertentu di dalam selang [-1,1], mengalikannya dengan suatu konstanta, kemudian menjumlahkan keseluruhan perhitungan. Pendekatan ketiga ini dinamakan Kuadratur Gauss.
Metode perhitungan integral secara numerik bekerja dengan sejumlah titik diskrit. Untuk fungsi menerus titik-titik diskrit itu diperoleh dengan menggunakan persamaan fungsi yang diberikan untuk menghasilkan table nilai. Titik-titik pada tabel sama dengan membagi selang integrasi [a,b] menjadi n buah pias (strip) atau segmen.
Titik absis pas dinyatakan sebagai:
Xr = a + rh,                               r = 1,2,3 .......n
Dan nilai fungsi pada titik absis pias adalah,
Fr  f (Xr)
Luas daerah integrasi [a,b] dihampiri sebagai luas n buah pias. Metode integrasi numerik yang berbasis pias ini disebut metode pias. Kaidah integrasi numerik yang dapat diturunkan dengan metode pias adalah
  1. Kaidah segiempat (rectangle rule)
  2. Kaidah trapesium (trapezoidal rule)
  3. Kaidah titik tengah (midpoint rule)
Pada sebuah pias berbentuk trapesium dari x = Xo sampai x = Xi
Luas trapesium adalah
Persamaan di atas dikenal dengan kaidah trapesium
Galat kaidah trapezium untuk satu buah pais adalah:
Metode ini adalah metode yang umum untuk menentuksn kaidah integrasi numerik. Polinom interpolasi menjadi dasar metode Newto-Cotes. Gagasannya adalah menghampiri fungsi f(x) dengan polinom interpolasi pn(x).
Dari beberapa kaidah integrasi numerik yang diturunkan dari Newton-Cotes, tiga diantaranya yang terkenal adalah:
  1. Kaidah trapesium (Trapesoidal rule)
  2. Kaidah Simpson 1/3 (Simpson’s 1/3 rule)
  3. Kaidah Simpson 3/8 (Simpson’s 3/8 rule)
Menurut metode Nowton-Cotes kaidah trapesium merupakan polinom imterpolasi yang melalui dua buah titik sebuah titik sebuah garis lurus.
Penyelesaian integral menggunakan kaidah 1/3 simpson menggunakan persamaan:
Demikian pembahasan kita kali ini tentang Persamaan Differensial dan Integrasi Numerik, Semoga Bermanfaat... :-)


0 Response to "Persamaan Differensial dan Integrasi Numerik"

Post a Comment

Please Enable JavaScript!
Mohon Aktifkan Javascript![ Enable JavaScript ]