Materi Fisika "METODE PENCARIAN AKAR"

Metode pencarian akar terbagi menjadi 2, yaiitu metode tertutup dan metode terbuka. Metode tertutup dibagi menjadi 2 yaitu Metode Bisection dan Metode Regulasi Fals. Sedangkan metode tertutup terbagi 4 metode yaitu Lalaran Titik Tetap, Metode Newton Rapshon, Orde Konvergensi Metode Terbuka, dan Metode Secant. Untuk kesempatan kali ni akan dibahas 4 metode, yaotu Metode Bisection,  Metode Newton, Metode Secant, dan Laju Konvergensi (Orde Kovergensi Metode Terbuka).

  1.  Metode Bisection
Metode bisection atau metode bagi dua yaitu membuat dua buah bagian interval dari domain penyelesaian persamaan non linier. Proses pembagian interval tersebut mula-mula diawali dengan penentuan interval yang memuat solusi (akar) untuk f(x). Untuk penghentian pencarian akar terdapat ketentuan untuk nilai teleransi keakuratan yakni sebagai berikut:
εs<ε,εh<ε atau ηmaka = N ε N
Syarat dari metode bisection yakni nilai f(x) real atau nyata adalah kontinu dalam interval xi sampai xu, dimana f(xi) dan f(xu) berbeda tanda sehingga f(xi).f(xu) < 0.  Metode ini digunkan untuk menetunkan salah satu akar dari f(x), dan metode carian incremental merupakan dasar dari metode bagi 2.
Algoritma metode bisection:
  1. Pilih harga xi yaituharga x yang terendah dan xu yaitu harga x yang tertinggi, agar fungsi berubah tanda sepanjang interval tersebut sehingga f(xi).f(xu) < 0.
  2. Taksiran pertama akar sebut dengan xr ditentukan oleh 
  3. Evaluasi harga xr untuk menentukan suinterval mana yang akan memuat harga akar
  • Jika f(xi).f(xr) < 0, akar terletak pada subinterval pertama, maka xu baru = xr.
  • Jika f(xi).f(xr) > 0, akan terletak pada subinterval kedua, maka xi baru = xr.
  • Jika f(xi).f(xr) = 0, maka proses komputasi berhenti dan akarnya = xr.
  1. Buat taksiran akar baru = xbaru dari
  2. Putuskan apakah taksiran baru cukup akurat dengan kebutuhan yaitu biasanya IεaI≤ IεsI yang ditentukan. Jika ya hentikan komputasi, jika tidak kembali lagi ke evaluasi.
Metode Newton Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut. Metode ini bisa digunakan dalam mencari akar dari suatu persamaan dan sering digunakan karena kesederhanaannya. Metode ini hanya membutuhkan ”tebakan” 1 buah harga awal yang seharusnya terletak di sekitar domain jawab (secara intuitif) nilai akar α, sedemikian rupa sehingga formula tersebut konvergen (menuju ke titik jawab).
Newton Raphson ini menggunakan fungsi derivatif (turunan) sebagai fungsi garis singgung. Hal lain yang harus diperhatikan adalah bahwa Metode Newton-Raphson ini memberikan beban tambahan kepada penggunanya, karena adanya keharusan menghitung fungsi turunan f ’(x)n di setiap iterasi (titik xn ). Hal ini merupakan salah satu kekurangan dari metode ini, mengingat tidak semua fungsi dapat diturunkan atau mempunyai turunan pada suatu interval yang kontinyu. Kekurangan lainnya adalah penetapan harga awal sulit dan tidak selalu menemukan akar (divergen). Sedangkan keunggulan metode ini adalah memiliki laju konvergensi kuadratik, sehingga metode ini lebih cepat untuk konvergen menuju akar pendekatan daripada metode lain yang memiliki laju konvergensi linear.
Pada dasarnya, algoritma metode Newton untuk mencari akar suatu fungsi f(x) dimulai dengan menentukan nilai awal iterasi terlebih dahulu, misalkan x = a. Pada setiap iterasi, metode Newton ini akan mencari suatu nilai katakanlah b yang berada pada sumbu-x. Nilai b ini diperoleh dengan menarik garis singgung fungsi f(x) di titik x = a ke sumbu-x
  1. Menentukan harga awal xi.
  2. Garis singgung terhadap f(xi) akan diekstrapolasikan ke bawah pada sumbu x untuk memberikan sebuah taksiran pada akar xi+1, sehingga xi+1 dirumuskan:
Beberapa permasalahan pada Metode Newton Raphson antara lain :
  1. Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai f ‘(x) = 0.
  2. Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner
Metode secant merupakan salah satu metode terbuka untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linear.
Dengan prinsip utama :
  • Metode ini melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan garis secant yang ditentukan oleh 2 titik akhir.
  • Nilai taksiran akar selanjutnya adalah titik potong antara garis secant dengan sumbu x
Metode Secant memerlukan 2 tebakan awal yang tidak harus mengurung/mengapit akar yang membedakan antara metode Secant dan Newton-Rapshon dalam menentukan sebuah akar dari suatu fungsi adalah dalam menentukan besarnya xi+1.
Prosedur lelaran pada setiap metode terbuka dapat ditulis dalam bentu xr+1 = g(xr). Misalnya pada metode newton-Rapshon g(xr) = xr - f(xr)/ f’(xr). Misalkan xr adalah hamparan terhadap akar sejati s sehingga s = g(s).
Demikianlah pembahasan materi tentang Metode Pencarian Akar.

0 Response to "Materi Fisika "METODE PENCARIAN AKAR""

Post a Comment

Please Enable JavaScript!
Mohon Aktifkan Javascript![ Enable JavaScript ]